Arte y matemáticas

Walter Trier fue un ilustrador checo-germano que hizo libros para niños y portadas para revista. Una de sus obras inspiró algo que ya es una avalancha. Su libro Têtes Folles es un libro infantil en el cual las cabezas, torsos y piernas de los personajes son intercambiables con sólo mover una sección de cada página. Miren el video para que vean a qué me refiero

Este librito inspiraría a Raymond Queneau, un escritor y matemático francés, a crear un libro de sonetos en el cual se hiciera lo mismo, agarrar una hoja con el verso que queramos y crear los poemas que queramos. En total los poemas originales eran 10, y al ser 14 versos por ser soneto, se tiene 10¹⁴, lo cual da como resultado cien mil millardos de posibilidades (y el nombre a libro), así que si un millardo es equivalente a mil millones y hay cien mil de ellos, tenemos cien billones de combinaciones. Algunos dicen que por eso es imposible de leer en su totalidad, yo digo que es porque está en francés

La pregunta es, ¿se puede traducir esta obra y respetar su trabajo? Al hacer la traducción se perdería la rima y por lo tanto todo el cuidado que puso Raymond se iría a la basura. Para compensar, un grupo de poetas de habla hispana hicieron un homenaje a él, y crearon un libro del mismo estilo pero en español. Se llama Cien Mil Millones de Poemas (sí, son menos; pero en el prólogo se explica que lo llamaron así para evitar duplicidad de título)

También tiene la singularidad esta versión de que hay una página en blanco para que el lector haga su propio poema y encaje con los demás. Haciendo, pues, que las posibilidades sean infinitas dependiendo del trabajo de cada comprador

Además, esto ya dio el brinco a la música. El músico uruguayo Jorge Drexler hizo este experimento pero con varios autores y el resultado es un ejercicio similar pero con canciones

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Teología de los números

Para comprender por qué es una teología debo aclarar que tiene un sentido pitagórico, y también, mi comprensión de Dios

El primogénito de la creación es el número 1, que es el ser, y el 0 es sólo una concepción mental de que no está manifestada la existencia para ese espectro de realidad

El 1 puede unirse a otro 1 y así unir fuerzas para algo nuevo en coexistencia (1+1=2), o pueden unir fuerzas para un bien común en unificación de existencias (1+1=1)

Sólo se nos enseña en matemáticas el concepto de coexistencia, no de valor ontológico, así pues, tratar de forzar una relación sentimental con alguien que no te quiere, resulta en 1+0=0; pero si hay una sinergia, esa meta en común puede ser tan fuerte que logra manifestarse en un nuevo ser: 1+1=3 (ser padres), el cual también es válido si ponemos 2 = 3 = 1, donde 2 es la coexistencia de fuerzas, 3 es el traer un nuevo ser, y 1 es la unidad de la familia

De donde se saca que todos los números son en realidad el 1 junto a todos los demás 1; pero cada quien con un propósito diferente

En un conjunto {-ꝏ, ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., ꝏ}, donde cualquiera de sus elementos no jale parejo con el grupo, el valor de todo se vuelve un 0 = 0, porque no funcionan las cosas; pero si todos jalan parejos y hacen que todo funcione, entonces 0 (que es la suma de todos los elementos) = 1

De igual manera, el 1 es omnipresente en todos lados:
(X)(1)=X, por lo que 5 = 5x1 (no se ve pero ahí está)
De igual forma para las potencias y divisiones, lo que nos demuestra que hay planos más allá aunque no los veamos o sintamos

Es por eso que llamo a esto teología de los números, porque mediante números nos damos cuenta de que hay un ser supremo, el ser (1) y con esto se llega a la misma conclusión a la que llegó Pitágoras hace tiempo: todo se reduce a un número

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Pedagogía matemática

BASES FILOSÓFICAS, PEDAGÓGICAS, EPISTEMOLÓGICAS Y CONCEPTUALES DE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

(¿Quién dijo que los títulos largos pasaron de moda?)
Autor: Bruno D'Amore y otros más (perdonen, no anoté sus nombres, si alguien tiene a todos los autores favor de decirme para ponerlos)

Este libro lo encontré en la biblioteca de la universidad mientras buscaba yo bases pedagógicas para enseñar matemáticas. No es por nadie desconocido que la calidad y modelos educativos está demasiado atrasados. Quizá en otros países más que otros; pero la verdad, para el nivel tecnológico que tenemos ahora, este rubro da lástima.

De esta obra pude rescatar varias cosas muy interesantes, las cuales comparto en esta entrada


PREMISA

"¿Cómo explicar la atención al proceso de aprendizaje, si no basándolo sobre la elección de apuntar todo sobre el sujeto que aprende y no sobre la disciplina?"

Privilegiar la relación personal con el saber, por encima del saber, es la visión antropológica

Lo que trata esta parte es de hacer entender al maestro que está enseñando cosas abstractas que no tienen relación con el mundo real. Cuando se enseñe matemáticas como parte de la realidad y se aplique su uso, será más fácil entenderlas y aprenderlas. No importa dominar el proceso matemático por aprendizaje repetitivo, sino dominarlo por aprendizaje pragmático y tácito. Así como el lenguaje humano primero se domina y luego se entienden sus partes, así debe ser la enseñanza matemática, la cual también es un lenguaje

PARTE 1

"Una teoría del significado es una teoría de la comprensión; es decir: Aquello de lo cual una teoría del significado debe dar cuenta es de aquello que se conoce cuando se conoce el lenguaje, es decir cuando se conocen los significados de las expresiones y de los discursos del lenguaje"

"Comprender el concepto será concebido como el acto de adquirir su significado (...) La metodología de los actos de comprensión se preocupa principalmente del proceso de construir el significado de los conceptos"

"En las teorías realistas el significado es "Una relación convencional entre signos y entidades concretas e ideales que existen independientemente de los signos lingüísticos; como consecuencia suponen un realismo conceptual" (...) Según esta concepción el significado de una expresión lingüística no depende de su uso en situaciones concretas, sino que el uso se apoya en el significado, siendo posible una división neta entre semántica y pragmática. Es decir, las cosas tienen un significado inherente e independiente del contexto"

"En las teorías pragmáticas las expresiones lingüísticas tienen significados diferentes según sea el contexto en el que se usan y por tanto resulta imposible toda observación científica en cuanto que el único análisis posible es "Personal" o subjetivo, y de todas formas circunstanciado y no generalizable"

Es decir: El significado depende del contexto

	TEORÍAS REALISTAS	TEORÍAS PRAGMÁTICAS
SIGNIFICADO	Relación convencional entre signos y entidades concretas o ideales, independientes de los signos lingüísticos	Depende del contexto y del uso
SEMÁNTICA VS PRAGMÁTICA	División neta	Sin división o división matizada
OBJETIVIDAD O INTERSUBJETIVIDAD	Total	Faltante o discutible
SEMÁNTICA	Las expresiones lingüísticas tienen funciones puramente semánticas	Las expresiones lingüísticas y las palabras tienen significados "Personales", son significativas en oportunos contextos, pero no tienen significados absolutos por sí mismos
ANÁLISIS	Posible y lícito; por ejemplo, la lógica	Posible sólo un análisis "Personal" o subjetivo, no generalizable, no absoluto
VISIÓN EPISTEMOLÓGICA CONSECUENTE	Concepción platónica de los objetos matemáticos	Concepción problemática de los objetos matemáticos
CONOCER	Descubrir	Usar en oportunos contextos
CONOCIMIENTO	Es un absoluto	Es relativo a la circunstancia y al uso específico

Aquí vemos que una sola metodología de aprendizaje de las matemáticas no nos ayudará del todo, es necesario complementarlas

"Un objeto matemático es "Un emergente de un sistema de praxis donde se manipulan objetos materiales que se descomponen en diferentes registros semióticos: Registro oral, de las palabras o de las expresiones pronunciadas; registro gestual; dominio de las inscripciones, es decir aquello que se escribe o se dibuja (Gráficas, fórmulas, cálculos, ...), se puede decir, registro de la escritura"; siendo el "Praxema" un objeto material ligado a la praxis, el objetos es entonces un "Emergente de un sistema de praxemas"

"(...) La relación entre persona y objeto está condicionada por el proceso de institucionalización del conocimiento que lleva al conocimiento institucionalizado de dicho objeto"

¿Qué quieren decir de forma tan rebuscada? Que las matemáticas deben ser un reflejo de la realidad para que sea entendible y fácil de procesar

Daré un ejemplo personal

A mí me gustan las mujeres blancas de pelo negro; pero aunque esa es mi raza favorita, también me gustan otras mujeres de otras razas

La constante es "mujeres". He realizado una factorización

En mi mente, tiene prioridad la raza blanca, por lo que podemos decir que entre varias mujeres hermosas, el criterio de preferencia sería la piel. Esto se puede expresar como "raza blanca" > "cualquier otra"

Sin embargo, si esa mujer blanca no es inteligente, está totalmente descartada, podemos reacomodar la expresión como "inteligencia" > "raza blanca" > "cualquier otra"

Dicen que no se puede sumar peras con manzanas. Se puede. 3 peras más 2 manzanas son 5 frutas. Se ha sacado el común

Pura matemática aplicada

PARTE 2

Con respecto a que el arte de la enseñanza recae en los hombres, del maestro en su totalidad
"La enseñanza, como simple proceso de instrucción agravada por hipótesis de la capacidad del estudiante de absorber lo que se dice "Bien", no es una concepción, es una ilusión"

A pesar de que el autor niegue lo importante de tener artistas de la enseñanza, es cierto que no a todos se les da el ser maestros. ¿Podrá un negado ser capaz de ser gran profesor sólo por el hecho de tener un seminario de esta investigación?

"Didáctica de la matemática tipo A: Divulgación de las ideas, fijando por lo tanto la atención en la fase de la enseñanza" (Juegos, laboratorios, etc.)"

"Didáctica de la matemática tipo B: Investigación empírica, fijando la atención en la fase del aprendizaje (Epistemología del aprendizaje de la matemática)" (Las típicas clases)


"La didáctica A puede contribuir a resolver problemas de gran importancia como: Mejorar la imagen de la Matemática, mejorar la imagen de sí misma al hacer matemática, mejorar la atención, activar el interés y la motivación (...) Lecciones inútiles, repetitivas, aburridas, tienen repercusión negativa en los estudiantes"

"Transfer cognitivo: La motivación y el interés que la nueva actividad genera en el alumno es tal que el aprendizaje del concetpo "En juego" será no epidérmico sino, por el contrario, profundo. De esta forma, cuando el alumno se encuentra frente a un problema del mismo tipo, pero de ambiente diverso, transferirá el saber de una situación a otra, en forma natural, implícita, espontánea, sin exigencias cognitivas específicas para la nueva situación de aprendizaje"

Si se aprende a relacionar las matemáticas con el mundo real, se podrán utilizar en cualquier momento a pesar de que el teorema se haya olvidado. El basarnos en el aprendizaje de teoremas para dominar las matemáticas sólo tiene como efecto que el alumno tenga gran memoria; pero nada más

"Usar por largo tiempo y bajo la dirección del profesor el ábaco multibase hace obviamente más hábil al alumno en el uso... del ábaco multibase"

Cuando se logra superar lo anterior se pasa a la llamada "Didáctica B". Igual que en el lenguaje humano, ya se ha dominado y luego se estudia sistemáticamente para entenderlo y perfeccionarlo. Dominamos nuestro idioma natal sin conocer sus reglas, ya una vez dominado, las reglas pueden entenderse fácilmente

PARTE 3

En esta parte se habla de concretizar diferentes aspectos de la enseñanza matemática. Yo anoté las siguientes oraciones que me parecieron las más significativas

"Distinguir el "Concepto" de su construcción no es fácil y, quizás, no es ni posible ni deseable: Un concepto se halla, por así decirlo, continuamente en fase de construcción"

"El apropiarse de un concepto (...) requiere siempre algo más que nombrarlo"

"Todo concepto matemático remite a "No-objetos" (No se peuden palpar)"

"Todo concepto matemático se ve obligado a servirse de representaciones, dado que no se dispone de "Objetos" (...) la conceptualización debe necesariamente pasar a través de registros representativos que (...) no pueden ser unívocos"

"En matemáticas se habla más de "Objetos matemáticos" que no de "Conceptos matemáticos" dado que en Matemática se estudian preferiblemente objetos mucho más que conceptos"
Respecto a lo anterior encontré en mis notas un "(WTF?)", porque precisamente siento que es totalmente alrevés

"No existe concepto sin signo"

"No existe signo fuera de un "Sistema de signos" (...) las palabras no tienen significado sino a interior del sistema de un idioma"

"Registro de representación semiótica: Sistema de signos que permite cumplir las funciones de comunicación, de tratamiento y de objetos" (¿Vación? ¿Qué escribí ahí?) "(Sistema: Binario, decimal, no sistema: +, -, /, %)"

"Paradoja del aprendizaje matemático: ¿Cómo sujetos en fase de aprendizaje no podrían no confundir los objetos matemáticos con sus representaciones semióticas si ellos sólo pueden tener relación directa con estos a través de dichas representaciones?"

"En esta fase "Paradójica" del aprendizaje, se requiere estar muy atentos; de una parte el estudiante no sabe que está aprendiendo signos al puesto de conceptos y que en cambio, lo que debería aprender son conceptos; y de otra parte, si el profesor nunca ha reflexionado sobre este punto creerá que el estudiante está aprendiendo conceptos, mientras que lo que en realidad está "Aprendiendo" es a hacer uso de los signos"

"El conocimiento es el resultado de un "Contacto" entre un sujeto que aprende y el objeto de conocimiento"
Pero esta idea kantiana tiene el defecto de que el sujeto es un adulto con un lenguaje ya estructurado ¿Qué pasa con aprendices (Niños, adolescentes y/o jóvenes) con lenguaje en construcción? Yo digo que también es válido (Interiorizar lo externo)

"El conocimiento "Es" la intervención y el uso de los signos"


Proceso del sistema de aprendizaje: 1) Conceptos 2) Reglas 3) Aplicación 4) Examen de la regla y del concepto

"El niño no asimila objetos puros (...) asimila las situaciones en las cuales los objetos aparecen situados en contextos que les dan el significado específico"

"Los problemas del aprendizaje matemático en la escuela, aún antes de ser de orden epistemológico, pertenecen a dicho ambiente sociocultural tan específico"

"Las tesis de la epistemología constructivista: El estudiante construye su propio conocimiento; cada estudiante construye su propia versión del conocimiento"

"(...) un concepto (...) es un auténtico y complejo acto de pensamiento que no se puede enseñar mediante la ejercitación y al cual se puede llegar sólo cuando el desarrollo mental del niño ha alcanzado el nivel requerido"

Habilidades mentales necesarias para el aprendizaje: Atención, memoria, lógica, abstracción, capacidad de comparación y diferenciación

"La enseñanza directa de conceptos es imposible y estéril"

"No existe noética (Abstracción de un objeto) sin semiótica (Representación realizada por medio de signos)"

Características de la semiótica: Representación, tratamiento, conversión (Que son actividades cognitivas)

"1) El uso de varios registros de representación semiótica es típico del pensamiento humano"
2) La creación y el desarrollo de sistemas semióticos nuevos es símbolo (Histórico) de progreso del conocimiento"

"Es cada alumno que aprende"

"Construcción del conocimiento en Matemática (...) representar los conceptos, de tratar las representaciones obtenidas al interior de un registro establecido, y de convertir las representaciones de un registro en otro"
(Dar igual importancia a los 3)

"La representación semiótica de un concepto no es jamás unívoca"

"Funciones discursivas que caracterizan c/u de los registros que se llaman "Idioma":
1) Función referencial de designación de objetos
2) Función apofántica (¿?) de expresiones de enunciados complejos
3) Función de expansión discursiva de un enunciado complejo
4) Función reflexiva discursiva"

"Un idioma, en esencia, a diferencia de los otros registros, es multifuncional"

¡OJO! El aprendizaje de la Matemática consta de 4 tipologías de aprendizaje:
1) Aprendizaje conceptual
2) Aprendizaje de estrategias (Resolver, demostrar, ...)
3) Aprendizaje algorítmico (Calcular, operar, ...)
4) Aprendizaje comunicativo

PARTE 4

"Contrato didáctico: Hábitos específicos del docente esperados por el alumno y los comportamientos del alumno esperados por el docente"
Para romper con ese contrato didáctico que produce una automatización irracional, se propone dar, de vez en cuando, problemas con exceso de datos, datos faltantes, datos contradictorios. Esto produce hacerlos más analíticos y a razonar los problemas

Esto anterior es muy importante. El alumno ya sabe que se va a pedir "x" cuando se le pregunta "x + 10 = 5". Ese es un contrato no explícito entre maestro y alumno. Yo escribo una pregunta y tú me das la respuesta. Siempre va a ser así y si lo haces como te digo, tendrás un premio. Esto hay que romperlo con lo que se sugiere en el párrafo anterior, para así lograr que el alumno razone y piense por sí mismo cada situación

La Matemática es de la vida real, por lo tanto la representa y las preguntas deben ser reales

Cláusula de la delega formal: No es tarea del estudiante razonar o controlar (Por eso todo se basa en aprender lo que el maestro dice, y ejecutarlo como dice, sin importar que el maestro esté mal)

"La tarea sucesiva del estudiante será aquella de transcribir el resultado, sea cual sea y sin importar qué cosa signifique, en el contexto problemático"

Misconcepciones: Concepto errado reforzado por coincidencias

Ejemplo de misconcepciones: Veo que alguien es atropellado en la calle. Me pregunta alguien si eso está mal, y yo digo que sí. La otra persona se va tranquila pensando que mi punto de vista es que estuvo mal ser atropellado, no le importa que yo contesté que sí estaba mal, porque yo me refería a que no lo remató. Si varias personas me preguntan lo mismo, contestaré lo mismo, y como ninguna me refuta, reforzaré mi idea de que rematar al atropellar es correcta

Para eso es importante preguntar al alumno cómo llegó a ese resultado

Para evitar que el alumno haga modelos falsos, débiles, no hay que dogmatizar

"Didácticamente conviene dejar imágenes aún inestables en espera de poder crear modelos adecuados y significativos lo más cercano posible al saber matemático que se quiere alcanzar" 
 (Modelo intuitivo y no parásito)

Ampliar la dificultad de un ejercicio no sólo es ampliar operaciones, sino hacer redacciones más complejas

Finalmente, encontré unas notas junto a las anteriores. No sé si son de otro libro, no sé si son del mismo, y si lo son, no sé a qué parte del libro pertenecen, por eso lo titulé:
¿DE DÓNDE CARAJOS SAQUÉ ESTO?

"Los estudiantes no forman conceptos científicos esenciales y no construyen estrategias eficaces de solución de problemas"
La enseñanza matemática es un conjunto atomizado de actividades aisladas encadenadas arbitrariamente

Desarrollar el comprender, comunicar y visualizar

Los materiales de apoyo deben de ir dentro del proceso de estudio y no aislado

La falta de ganas de estudiar no es un enfrentamiento ni enfermedad, es una manifestación del compromiso con la ignorancia

La matemática se enseña como algo ajeno e impuesto al alumno

"La sociedad vive y se desarrolla tal como aprende y aprende tal como quiere vivir"

Desarrollo de formas de pensamiento gracias a la matemática heurística, flexible, lateral y crítica; memoria, percepción, imaginación, habilidad de generalizar, abreviar un proceso de razonamiento, habilidad para establecer asociaciones "Reversibles", definir, demostrar, identificar, interpretrar, recodificar, graficar, algoritmizar, calcular, modelar, resolver problemas

Un problema es que hasta los profesores no saben matemáticas

Comprender: Descubrimiento de significado y sentidos, llegar a la esencia de un objeto y determinar su valor
Visualizar: Trasladar a imágenes visuales la información de un determinado contexto y viceverza

CONCLUSIONES
Todo eso está muy bien; pero se necesita de alguien que sepa enseñar, quiera enseñar y que sepa matemáticas, porque si no, va a quedar todo tal y como está; pero por sobre todo, se necesita que las instituciones educativas y los gobiernos quieran que la gente aprenda a pensar

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Rebatiendo quimeras (2)

Otra vez voy con todo a la yugular. Ahora voy contra la ciencia, pues se ha convertido en una religión


La ciencia (dicen los científicos) demuestra que dios no existe. Eso es falso, todo verdadero científico, como todo verdadero filósofo, no puede negar la existencia de dios. A lo mucho, llegarán al agnosticismo. Aclaremos varios puntos


No hablo del dios entendido por las miles de millones de religiones, tal y como lo quieren dar a entender. Hablo de dios como ser supremo, del ser en cuanto a ser


El detalle que es cuestionable, tal y como lo dijo Sébastien en su obra "12 pruebas de la inexistencia de dios", es que si es todo poderoso y superior, ¿cómo seres finitos, inferiores, limitados, van a a poder conocerlo en su totalidad? Recomiendo leer primero este análisis a la obra de Sébastien para dejar en claro que no hablo yo de un dios tradicional ni de un dios de alguna religión


Con esta aclaración se va a hacer un cisma, los verdaderos científicos se me unirán, y los fanáticos de la nueva religión llamada "ciencia" estarán en mi contra. Así pues, a ellos va mi ataque filosófico, y recuerden que mi armamento es letal


El ser supremo, a quien llamaremos dios, es el ser por excelencia, es decir, el ser en cuanto a ser, por lo que fuera de él nada existe. ¿Qué características tendría este ser?


1) Es infinito. Demostración práctica: Los números. Su simple existencia demuestra que el infinito es posible


2) Es eterno. Demostración práctica: La división periódica. Su simple existencia demuestra que lo eterno es posible


3) Es neutro. Demostración prácitca: La existencia de la misma cantidad (infinita) de números positivos, en relación exactamente igual a la cantidad (infinita) de números negativos, nos dice que el ser es neutro. La suma de ambos bandos da cero, y aún así, sigue existiendo. Dejamos entonces que el bien y el mal es subjetivo, por lo que no puede considerarse parte objetiva de dios


4) Es todo poderoso, tanto que él mismo es capaz de crear algo más fuerte que él: Sí mismo. Dios es recursivo, usando a su propio ser como parámetro y siendo él mismo la función, siendo él mismo el receptáculo de sí mismo engrandecido. Con esto se explica la existencia de varios universos, dimensiones y nuestra existencia misma. Este devenir constante y eterno crecer es fruto del egocentrismo autosatisfactorio de dios. La demostración práctica de que hay cosas abstractas; pero que nos afectan en nuestra realidad, es la presencia de números como lo es el producto de la raíz cuadrada de -2


5) Dios podría saberlo todo; pero le vale. Nuestra existencia es un accidente, y no le importamos, por lo que un diálogo con él es inútil. La demostración práctica de que hay cosas que existen y que aún así no nos afectan, es la reducción númerica del 1. ¿Qué quiero decir con esto? Va un ejemplo: ¿Cuántos números 1 ves en este número?

8

Ahora lo voy a poner de manera que puedas contarlos

1*(8¹/1)

Y todavía podría poner muchos más. Existen infinitos números 1 junto al 8; pero por leyes superiores no le afectan


6) No existe libre albedrío. El dejar la voluntad de elección a nosotros es darnos demasiada importancia, cosa que a él le vale. Es un ente que todo lo tiene calculado, y nada deja al azar. Todo es un "si, entonces", "acto y consecuencia" del cual nunca podremos escapar


Ante este dios, cuya simple existencia nuestra demuestra su existencia, reto a los científicos que la nieguen y la refuten. No defiendo al dios judío, al dios cristiano, al dios musulmán, ni a ningún otro. No niego la existencia de seres de otro orden, sea dimensión  o universo; pero aunque ellos sean ontológicamente superiores a nosotros, no los convierte en dioses, así como nosotros no somos dioses en caso de encontrar seres ontológicamente inferiores

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